АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА

План.

1. Случай вещественных корней.

2. Случай равных вещественных корней.

3.Случай всеохватывающих корней.

В качестве начального материала, применяемого в даль­нейшем при исследовании нелинейных систем, разглядим особенные точки линейных систем второго порядка. Уравне­ния линейной системы имеют вид

либо в векторно-матричной форме

при условии, что матрица А невырожденная, т. е. detА&sup АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА1;0 Дифференциальное уравнение фазовых траек­торий, согласно (1.5), имеет вид

Единственной особенной точкой (точкой сбалансированного состоя­ния системы) является точка х1=0, х2=0.

Пусть корешки l1 и l2 характеристического уравнения

(тут .Е—единичная матрица) различны. Методом подста­новки вида х=Ру где Р — некая невырожденная матрица, матрицу А можно привести к диагональному виду. Уравнения (1.5) воспримут вид АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА:

либо

Решением этих уравнений является

Разглядим фазовые линии движения в этой условной си­стеме координат (у1,у2), а потом отобразим фазовые линии движения на плоскость начальных координат (х1,х2)

Случай вещественных корней l1,2 Переходный про­цесс — апериодический. Пусть

Исключив t из решения (1.7), получим уравнение фазо­вых траекторий

Если знаки корней l1,2 схожи АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА, то с учетом (1.8) имеем l2/l1 > 1, и фазовые линии движения представляются в виде парабол, как показано на рис. 1.15. При всем этом направление движения изображающей точки М по хоть какой фазовой линии движения определяется уравнением (1.7), а конкретно: случаю l1<0, l2< 0 отвечает рис. 1.15,а,

Рис. 1.15.

что соответствует затухающим переходным процессам; случай l1>0, l2> 0 (рис АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА. 1.15,б) соответствует рас­ходящимся переходным процессам. Если же знаки корней l1,2 различны, то в урав­нении (1.9) имеем l2/l1<-1, и фазовые траек­тории имеют вид гипер­бол (рис. 1.16).

В случае отрицатель­ных вещественных корней (рис. 1.15, а) особенная точ­ка 0 именуется точкой типа «устойчивый узел».

В случае положитель­ных вещественных АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА кор­ней (рис. 1.15, б) осо­бая точка 0 именуется точкой типа «неустойчи­вый узел».

В случае же вещественных корней различных символов (рис. 1.16) особенная точка 0 именуется точкой типа «сед­ло». Седловая точка всегда неустойчива.

Рис. 1.16.

Отобразим приобретенные фазовые портреты линейной системы на плоскость начальных координат (х1,х2). Ис­пользуем тот факт АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА, что оси парабол и асимптоты гипер­бол (у1,у2) сами являются фазовыми траекториями и при линейном преобразовании останутся прямыми. Их отображение на плоскость (х1х2) воспримет вид х2=kx1. Подставив это соотношение в (1.6), получим

либо

откуда находим два значения k1 и k2. Это дает две пря­молинейные фазовые линии АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА движения (рис. 1.17)*)*).

Рис. 1.17.

На рис.1.17 дано размещение также и других (криволинейных) фазовых траекторий. Подобная картина изображена и на рис. 1.18 для особенной точки типа «седло». По какой из фазовых траекторий пойдет переходный про­цесс в системе, определяется исходными критериями х1(t0), х2(t0), которые дают вам координаты исходной точки Мо (рис. 1.17).

Для АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА уточнения таковой высококачественной картины фазовых траекторий можно применить способ изоклин.

Рис. 1.18.

Изоклиной именуется линия, соединяющая точки фазовых траекто­рий с схожим наклоном касательной, т. е. для каж­дой изоклины dx2/dx1 = с. Потому уравнение изоклины, согласно (1.6), имеет вид

Как следует, неважно какая ровная х2 =kиx1 будет изоклиной АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА с подходящим значением неизменной с. Задаваясь определенной величиной kи (рис. 1.18), согласно (1.10) находим

Нанеся несколько изоклин и зная для каждой из их крутизну наклона с пересекающих ее фазовых траекто­рии, можно уточнить всю картину фазовых траекторий.

Случай равных вещественных корней: l1=l2. В данном случае выходит вырожденный узел, устойчивый при l1,20 (фазовые траекто­рии АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА показаны в координатах у1, у2 на рис. 1.19, а, б).

Рис. 1.19.

Случай всеохватывающих корней l1,2.Переходный про­цесс — колебательный. Пусть

Решения (1.7) принимают полный вид

Введя новые переменные при помощи подстановки

преобразуем решение к вещественной форме

где А и g — произвольные неизменные. Перейдем к полярным координатам (r,j). Тогда

Эти выражения обрисовывают логарифмическую спираль, изображенную АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА на рис. 1.20, а для варианта a 0.

Рис. 1.20.

В случае всеохватывающих корней с отрицательной ве­щественной частью (рис. 1.20, а) особенная точка 0 называ­ется точкой типа «устойчивый фокус».

В случае всеохватывающих корней с положительной ве­щественной частью (рис. 1.20, б) особенная точка 0 называ­ется точкой типа «неустойчивый фокус».

Для преобразования приобретенных АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА фазовых портретов в начальную систему координат (х1,х2) воспользуемся способом изоклин. Пусть, к примеру, задана система

Корешки характеристического уравнения l1,2=-1±j2.

Обозначив х == х1, х2 приведем систему к виду

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий

Для изоклины х2 = kи х1 отсюда находим

Возьмем четыре значения. kи=0, 1, ¥, -1; тогда с = -¥, -7, -2, 3. Надлежащие направления касательных

Рис. 1.21.

к фазовым траекториям АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА показаны на рис. 1.21 стрелками. Ориентируясь по ним, вычерчиваем фазовые линии движения. Одна из их изображена на рис. 1.21.

Как личный случай (1.11), при a = 0, т. е. для чисто надуманных корней

l1,2 = ±jb, из (1.12) в полярных координатах на плоскости (z1,z2) получаем

r=A=const. Фазовые линии движения имеют вид окружностей (рис АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА. 1.22). При переходе к начальным координатам

Рис. 1.22. Рис. 1.23.

(х1,х2) получатся эллипсовидные замкнутые кривые (рис. 1.23). Это соответствует повторяющимся во времени процессам. В случае чисто надуманных корней особенная точка 0 (рис. 1.22 и 1.23) именуется точкой типа «центр».


ЛЕКЦИЯ 4. Особенные точки и фазовые портреты нелинейных систем.

План.

1. Фазовые портреты нелинейных систем.

2. Сбалансированное состояние.

3. Устойчивый и неуравновешенный АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА предельные циклы.

4. Автоколебания системы.

Разглядим фазовые линии движения нелинейной системы второго порядка

Особенные точки, отвечающие сбалансированным состояниям си­стемы, определяются из условия

Для выявления типа каждой особенной точки уравнения (1.16) линеаризуются при малых отклонениях координат в округи особенной точки. Потом определяются корешки характеристического уравнения линеаризованной системы, по которым, согласно лекции 3, и устанавливается тип осо АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА­бой точки.

Проведем рассмотрение этого вопроса на примере. Пусть заданы уравнения нелинейной системы

Уравнение фазовых траекторий имеет вид

Найдем особенные точки согласно условиям (1,17)

откуда получаем три решения:

1) х=0, у=0,

2) x=1, у= -1,

3) х= -1, у=1.

Как следует, система имеет три вероятных равновес­ных состояния.

Исследуем нрав особенных точек.

1. В округи точки х = 0, у АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА = 0 линеаризован­ные уравнения имеют вид

Характеристическое уравнение:

Корешки l1,2 =±j — чисто надуманные. Как следует, это особенная точка типа «центр».

2. В округи точки х = 1, у= -1 вводим малые отличия в координатах x=х-1, h=у+1. Под­ставляя в уравнения (1.18) х=x+1, у=h-1 и от­брасывая нелинейные члены, получим АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА линеаризованную систему

.

Характеристическое уравнение имеет вид

Корешки характеристического уравнения

вещественны и имеют различные знаки. Как следует, это особенная точка типа «седло».

3. Рассматривая линеаризованную систему в окрест­ности точки х =-1, у=1, подстановкой в уравнение (1.18) х=x-1, у=h+1 приходим к тому же урав­нению, что и в прошлом случае. Как следует, тут тоже особенная точка типа АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА «седло».

Найдем асимптоты фазовых траекторий в седловых точках. Положив h=kx,, из уравнения фазовых траекторий

получим

либо

откуда находим


Рис. 1.24.


На рис. 1.24 эти асимптоты показаны в округах соответственных особенных точек. Точка же (0, 0) типа «центр» должна быть окружена замкнутыми кривыми. Исходя из этого, на рис. 1.25 изображен примерный ход фазовых траекторий на всей плоскости.

Для АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА определения направления движения изображаю­щей точки по фазовым траекториям довольно исследо­вать какую-либо одну точку. Возьмем, к примеру, точку х = 0, у = 1. Согласно уравнениям (1.18) в этой точке имеем dx/dt = -2, dу/dt = 1, т. е. х меняется в сторо­ну уменьшения, а у- в сторону роста. В соответ АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА­ствии с этим и поставлена стрелка па фазовой траекто­рии, проходящей через точку (О, 1), а потому что система непрерывна, в ту же сторону будут ориентированы и все примыкающие фазовые линии движения.

Таким макаром выясняется высококачественная картина фа­зовых траекторий. Отметим, что в данном примере ни одно из 3-х вероятных сбалансированных состояний АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА системы не является устойчивым.

Рис. 125.

Способом изоклин можно уточнить очертания фазовых траекторий. Уравнение изоклины, согласно (1.19), имеет

вид

где с—крутизна наклона (dy/dx) пересекающих изокли­ну фазовых траекторий. К примеру, значению с = 1, т. о. углу наклона траекторий, равному 45°, соответствует, согласно (1.20), изоклина, описываемая уравнением

Она проходит через все три особенные точки (штриховая АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА линия на рис. 1.25). В отличие от линейных систем, тут изоклина криволинейная.

Отметим сейчас некие общие особенности процес­сов в нелинейных системах.

Рис. 1.26.

Сначала, это возможность наличия 2-ух пли нескольких сбалансированных состоя­ний (особенных точек), как уже было видно на приведен­ном примере. В согласовании с этим на фазовой АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА плоскости получаются области с разными типами фазовых тра­екторий. На рис. 1.25, к примеру, эти области разбиты жирно обозначенными кривыми. Такие особенные кривые, разделяющие области с различными типами фазовых траек­торий, именуются сепаратрисами.

Есть и другого типа особенные кривые. Принципиальным типом особенных кривых являются предельные циклы — замкнутые кривые, надлежащие повторяющимся АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА про­цессам, в округи которых имеют место колебатель­ные переходные процессы. Если эти фазовые линии движения

Рис. 1.27.

с обеих сторон сходятся к данному предельному циклу (рис. 1.26, а), то мы имеем устойчивый предельный цикл. Если же они удаляются в обе стороны (рис. 1.26, б),— неуравновешенный предельный цикл. Возмо­жен и случай 2-ух АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА предельных циклов (рис. 1.26,в), из которых один устойчивый (в этом случае наружный), а 2-ой неуравновешенный.

Особенная точка О на рис. 1.26 представляет собой в пер­вом случае неустойчивое сбалансированное состояние, а во 2-м и 3-ем — устойчивое. Картина процессов во времени, соответственная рис. 1.26, а, б, изображена на рис. 1.27, а, б АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

Физический смысл устойчивого повторяющегося про­цесса, отвечающего предельному циклу,— автоколебания системы. Это собственные повторяющиеся колебания, про­исходящие при отсутствии наружного повторяющегося воздействия, при этом амплитуда и частота автоколебаний не находится в зависимости от исходных критерий, а определяется внут­ренними качествами системы. Автоколебания могут воз­никать исключительно в нелинейных системах АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА. Что все-таки касается линейных систем, то в их собственные повторяющиеся колебания вероятны лишь на границе стойкости (l1,2 =±jw), при этом амплитуда их определяется на­чальными критериями (см. рис. 1.23).

Физический смысл неуравновешенного предельного цикла совершенно другой.Как видно из рис. 1.26, б, неуравновешенный предельный цикл — это граница областей исходных ус АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА­ловий. При исходных критериях х(to), у(to), лежащих снутри неуравновешенного предельного цикла, выходит за­тухающий переходный процесс, если же они лежат сна­ружи — расходящийся. Как следует, сбалансированное состо­яние О в этом случае стабильно при маленьких на­чальных отклонениях, а при огромных — система неус­тойчива. Молвят: система устойчива «в малом АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА» и неус­тойчива «в большом».

Тут принципиально отметить, что, в отличие от линейных систем, типы динамических процессов нелинейных си­стем могут значительно зависеть от исходных критерий.

Любопытно дальше отметить, что в первом случае (рис. 1.26, а) единственным устойчивым установившимся состоянием системы является автоколебательный режим. Во 2-м случае АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА (рис. 1.26, б)—сбалансированное состояние О. В 3-ем же случае система имеет два устойчивых установившихся состояния: сбалансированное О, и автоколеба­ния с большой амплитудой (наружный предельный цикл). Какой из их установится, находится в зависимости от исходных критерий.

В первом случае молвят, что имеет место «мягкое возбуждение» автоколебаний (т. е. при всех исходных АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА критериях), а в 3-ем случае—«жесткое возбуждение» автоколебаний, потому что, чтоб система вышла на их, не­обходимо исходные условия «забросить» за границы внутреннего неуравновешенного предельного цикла.

Все это будет проиллюстрировано в следующих гла­вах на примерах систем автоматического регулирования. Не считая того, будут проиллюстрированы и многие другие особенные характеристики АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА нелинейных систем, как, к примеру, от­резки равновесия, скользящие процессы, также особен­ности, связанные с принужденными колебаниями и с про­цессами управления, в каких, в отличие от линейных систем, не соблюдается принцип суперпозиции.


ЛЕКЦИЯ 5Переходные процессы и автоколебания релейной системы.

План.

1. Переходные процессы в релейных системах.

2. Полосы переключения АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

3. Личные случаи релейных черт.

В данной главе исследование переходных процессов на фазовой плоскости иллюстрируется на примерах об­щего нрава, выявляющих главные отличительные особенности процессов в нелинейных автоматических си­стемах.

Разглядим систему с релейной чертой вида. Уравнение динамики объекта (рис. 2.1, а) имеет вид

,а уравнение регулятора

где F(x)— релейная черта (рис. 2.1,6). Общее

Рис. 2.1.

уравнение АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА динамики системы найдем, если продифферен­цируем уравнение (2.1) и потом подставим в него (2.2). В итоге получим выражение

которое можно представить в виде

Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

Как видно из данной свойства (рис. 2.1,6), нелинейную функцию F(x) можно обрисовать последующим образом:

если у = dx/dt> 0, то

если у == dx/dt < 0, то

В связи АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА с этим на фазовой плоскости (х,у) можно вы­делить три области: (1) F(x)= -с; (2) F(x)=0; (3) F(x) = +с. Эти три области разбиты прямыми (на рис. 2.2 они показаны штриховой линией), которые именуются линиями переключения.

Такую фазовую плоскость именуют многолистной. На каждом листе (1, 2, 3) получится собственный вид фазовых траекторий АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА. По линиям переключения эти листы «сшива­ются». Фазовые линии движения безпрерывно перебегают с 1-го листа на другой (кроме неких особенных случаев, где они встречаются).

В области 1(F(x)= -с) уравнение (2.4) воспринимает вид

Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траек­торий в области 1:

Фазовые линии движения имеют асимптоту у=k1С, к ко­торой АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА они стремятся при неограниченном увеличении х. Такие фазовые линии движения изображены в области 1 на рис. 2.2. Направление их определяется в согласовании с рассмотренным выше правилом (лекция 2, рис. 1.9).

Рис. 2.2.

В области 2 (F(x)=0) уравнение (2.4) воспримет вид

Фазовые линии движения - прямолинейные отрезки (см. об­ласть 2 на рис. 2.2).

В конце концов, в области 3 (F (х АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА)= +с) уравнение (2.4) воспримет вид

откуда, аналогично (2.5), уравнение фазовых траекторий будет

Фазовые линии движения в области 3 стремятся к асимптоте у= -k1C при уменьшении х (на рис. 2.2).

В целом фазовые линии движения принимают спиралевид­ную форму. Это соответствует затухающим колебатель­ным процессам.

Рис. 2.3.

Но колебательный процесс за­тухает не до нуля АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА, а до некого произвольно­го значения (рис. 2.2, 2.3) в интервале –b1<х< b1, у= 0, т.е. снутри зоны нечувстви­тельности реле (рис.2.1,б). Таким макаром, заместо особенной точки тут полу­чается особенный отрезок сбалансированных состояний, показан­ный утолщенной линией на рис. 2.2. По какой из фазо­вых траекторий пойдет переходный процесс АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА в системе, определяется исходными критериями х(to), у (to).

Рис. 2.4.

Разглядим сейчас личные случаи.

В случае релейной свойства с зоной нечувст­вительности без петель (рис. 2.4, а) картина фазовых траекторий будет подобна изображенной на рис. 2.2, с той различием, что сейчас b1= b2= b , т. е. полосы пере­ключения будут прямыми без АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА излома на оси х. В случае чисто петлевой гистерезисной релейной ха­рактеристики (рис. 2.4,6) будет отсутствовать область 2 (рис. 2.2). В данном случае имеем

когда

когда

Этим определяются полосы переключения (штриховые полосы на рис. 2.5). Слева от их строим фазовые траек­тории по уравнению (2.5), а справа — по уравне­нию (2.6). Это и показа­но на рис АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА. 2.5. Так как ясно видно, что снаружи фазовые линии движения обра­зуют сходящиеся спирали, а изнутри расходя­щиеся, то кое-где посреди их должен быть предельный цикл, к которому все они сходятся. Он выделен утолщенной замкнутой линией (рис. 2.5). Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоко­лебаниям. Амплитуда их определяется точкой пе АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА­ресечения предельного цикла с осью х. На физическом уровне такое решение оправдано, ибо в согласовании с нелинейной ха­рактеристикой (рис. 2.4, б) реле не имеет сбалансированного состояния. Автоколебания происходят около петли реле с амплитудой, несколько превосходящей половину ширины петли b.

Рис. 2.5.

Установившийся режим работы таковой системы авто­матического регулирования АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА является автоколебательным. Так работают, к примеру, вибрационные регуляторы напряжения сети неизменного тока. Характеристики системы должны быть выбраны так, чтоб амплитуда и частота автоколебаний находились в допустимых границах.


ЛЕКЦИЯ 6 Система со скользящим процессом.

План.

1.Уравнения динамики.

2.Фазовый портрет системы.

3.Скользящий процесс.

Проиллюстрируем понятие скользящего процесса на ординарном примере.

Рис. 2.6.

Пусть АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА задана система автоматического регулирования (рис.2.6), уравнения динамики которой имеют вид

Эти уравнения можно представить в виде

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

Линия переключения на фазовой плоскости (х,у), как следует, описывается уравнением

Она показана на рис. 2.7. Справа от этой полосы х+kос>0. Потому уравнение фазовых траекторий (2.8) воспримет вид

откуда

Таким макаром, фазовые линии движения — это параболы, ветки которых ориентированы АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА в негативную черту оси х. Положение верхушки параболы определяется произ­вольной неизменной С1, т. е. исходными критериями пере­ходного процесса х(to), у(to).Эти параболы изображены

Рис. 2.7.

на рис. 2.7 справа от полосы переключения. Направление движения изображающей точки М по параболам опреде­ляется прежним правилом (стр. 15, 16, рис. 1.9).

Слева АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА от полосы переключения х+kосу<0, и урав­нение фазовых траекторий (2.8) имеет вид

Эти параболы также изображены на рис. 2.7 слева от полосы переключения. Видно, что на отрезке полосы пере­ключения АВ фазовые линии движения встречаются, упираясь в этот отрезок. Это можно расшифровать последующим об­разом. Пусть процесс идет по фазовой линии движения АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА 1(рис. 2,8). Как фазовая линия движения пересечет линию переключения ОА, вступит в своп права фазовая линия движения 2, которая возвратит процесс к отрезку ОА. По здесь повстречается фазовая линия движения 3 и т. д. В результа­те изображающая точка методом вибраций около полосы переключения переместится к началу координат О.

Рис. 2.8.

Таковой ход АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА процесса соответствует переключениям релейного эле­мента (рис. 2.6, б) с большой частотой. Тео­ретически частота пере­ключения нескончаема, а амплитуда вибра­ций, изображенных на рис. 2.8, стремится к нулю. Как следует, на теоретическом уровне изобра­жающая точка скользит по полосы переключения к началу координат — к сбалансированному состоянию. Процесс такового АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА рода именуется скользящим про­цессом.

Найдем закон движения в скользящем процессе. На полосы переключения, согласно (2.9), если учитывать 1-ое из уравнений (2.7), имеет место уравнение

Решением этого уравнения является

где значения t=0 и х=х0 числятся в момент попа­дания изображающей точки на линию скользящего про­цесса. Итак, скользящий процесс происходит по экспонен­циальному закону АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА.

Тут принципиально отметить последующее. Нелинейная система второго порядка (2.7) на участке скользящего процесса вырождается в линейную систему первого порядка (2.10). При всем этом закон движения в скользящем процессе не за­висит от характеристик прямой цепи системы и определяет­ся только коэффициентом оборотной связи. К примеру, при исходном положении Мо (рис. 2.7) получим фазовую АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА линию движения Мо М1 М2 М3, переходящую в скольжение по полосы M3О. Таковой фазовой линии движения соответствует про­цесс во времени x(t), изображенный на рис. 2.9, где, как и ранее, отмечены соответствующие точки.

Рис. 2.9.

Найдем положение концов отрезка скользящего про­цесса А и В на фазовой плоскости АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА (рис. 2.7). Разумеется, что в этих точках касательные к параболам совпадают с линией переключения. Это условие, согласно (2.9), можно записать в виде

тогда из уравнения фазовых траекторий (2.8) получим для точек А и В соответственно условие (2.11) в виде

Как следует, отрезок скользящего процесса АВ тем больше, чем больше коэффициенты усиления прямой цепи АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА и оборотной связи.


ЛЕКЦИЯ 7Система с логическим управлением. Учет временного запаздывания.

План.

1. Система угловой стабилизации объекта.

2. Безупречная работа системы управления.

3. Временное запаздывание в системе управления.

Разглядим автоматическую систему угловой стабили­зации объекта в среде без сопротивления (стабилизация аппарата в космосе). Структурная схема системы изображена на рис. 2.10. Уравнение динамики объекта АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА, т. е. уравнение вращения объекта вокруг собственной оси, имеет вид

где J- момент инерции, w- угловая скорость, М- вра­щающий момент со стороны системы управления. Будем считать, что вследствие неких наружных возмущений объект начал крутиться (к примеру, в итоге неидеальности процесса отделения от носителя при запуске), и рас­смотрим его стабилизацию с АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА по­мощью системы управления при от­сутствии наружных возмущений.

Рис. 2.10.

Система управления (рис. 2.10.) состоит из 2-ух измерителей: изме­рителя угла j и измерителя уг­ловой скорости w, с которых сигна­лы u1 и u2 снимаются в релейной форме, показанной на рис. 2.11. Эти сигналы поступают в логическое устройство, вырабатывающее нели­нейный АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА закон управления в виде некой логической функции Ф(j,w), которая служит управляющим воздействием на включение и выключение газовых сопел, создающих вращательный момент М.

Логическая управляющая функция Ф(j,w) может быть сформирована в разных видах. В простом случае можно сформировать ее, как показано на рис. 2.12, использовав для переключении АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА скачки сигналов u1 и u2 (рис. 2.11) при j= ±b1 и w=±b2. При всем этом Ф=1 соответствует созданию управляющего момента в поло­жительном направлении (против часовой стрелки), Ф= -1 - в отрицательном направлении и Ф=0 - отсут­ствию момента (все сопла выключены).

Обозначенный выбор логической функции Ф диктуется последующими соображениями. В АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА нулевой зоне -b10 и w=dj/dt>0. Как следует, угол j возрастает во времени - объект уходит от требуемого положения. Тут устанавливаем Ф= -1 (направление крутящего мо­мента обратно направлению угловой скорости w).

Рис. 2.11.

Аналогично в III квадранте, где знаки j и w отрицатель­ные, врубается Ф = +1.

Что касается IV квадранта (рис. 2.12), то АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА там j>0 и w=dj/dt<0, т. е. объект сам ворачивается к тре­буемому положению j=0. Тут можно обой­тись без управляющего момента. Устанавливаем Ф=0. Границей меж областью Ф= -1 (в I квадранте) и областью Ф=0 (в IV квадранте) назначаем величину w= -b2 (рис. 2.12), когда сигнал с датчика угловой скорости АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА имеет перескок с нуля к отрицательному значению (рис. 2.11).Ана­логично поступаем и во II квадранте (рис. 2.12).

Рис. 2.12.

В согласовании с этой схемой строится логическое устройство (рис. 2.10). Его функционирование можно обрисовать таблицей выходного сигнала Ф зависимо от входных:

Сигнал U2 от w Сигнал U1 от j
- +
- +1
+1 -1
+ -1

Тут приведен АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА пример простейшей логики формиро­вания закона управления. Можно выбирать и другие, более сложные, зависимо от требований, предъяв­ляемых к системе по экономичности, точности, быстродей­ствию и т.п.

Разглядим безупречную работу системы управления (без запаздывания сигналов по всей цепи звеньев). В данном случае уравнение системы управления запишется в виде

где М1=const АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА - величина управляющего момента, ко­торый создается включаемыми на постоянную тягу га­зовыми соплами; Ф(j,w) - логический закон управления, определяемый в этом случае приведенной выше таб­лицей либо согласно графику рис. 2.12.

Общее уравнение системы, согласно (2.12) и (2.13), можно записать в виде

Физический смысл величины с — неизменное угловое ус­корение вращения объекта под АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА действием момента M1. Дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

Фазовую плоскость ограничим по оси абсцисс значения­ми -p £ j £ p (рис. 2.13), при этом для вращающегося тела точки (j=±p совпадают.*)*) Этим охватывается полный оборот объекта.

В области, где Ф= -1 (рис. 2.13), уравнения (2.15)

принимают вид

вследствие чего фазовые линии движения являются параболами

В области АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА, где Ф= +1, имеем фазовые линии движения

В конце концов, в области, где Ф == О, получаем прямые полосы

Все обозначенные линии движения приведены на рис. 2.13.

Рис. 2.13.

Разглядим ход процесса. Пусть исходные условия определяются точкой N0 (рис. 2.13). Процесс пойдет согласно фазовой линии движения N0 - 1 - 2. Точка 2 (j=+p) при вращении совпадает с точкой АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА 2' (j= -p). Потому далее процесс пойдет в согласовании с фазовой траекторией 2 – 3 – 4 – 5. Как видно из рис. 2.13, точка N1, в какой угол j равен исходному (в точке N0), значит, что объект сделал один полный оборот. За­тем (линия движения N1 –3 –4 –5) он начал колебательное движение около собственной оси. Начиная с точки АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА 5, получаем замкнутую фазовую линию движения 5 –6 –7 –8 –5. Следо­вательно, объект заходит в установившийся автоколеба­тельный режим с амплитудой

Своеобразие этого предельного цикла состоит, во-пер­вых, в том, что снаружи фазовые линии движения приближа­ются к нему не асимптотически, как было ранее в дру­гих задачках, а за конечное число колебаний (и за ко­нечное АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА время). В описанной чуть повыше процессе это было за один оборот плюс один размах колебания. Своеобразие этого предельного цикла заключается также в том, что фазовые линии движения снутри него тоже замкнутые и окру­жают отрезок равновесия DE. Потому при малых на­чальных отклонениях, лежащих снутри предельного цик АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА­ла, получаются повторяющиеся колебания, определяемые исходными критериями. А именно, состояние равнове­сия, вероятное только при w0=0 и -b1

Введем сейчас в АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА рассмотрение временное запаздыва­ние в системе управления. Пусть t1 - величина запазды­вания при включении газовых сопел, а t2 - при их вы­ключении (t2>t1). Так как к полосы включения со­пел (j=b1) (рис. 2.13) объект подходит с неизменной ско­ростью (горизонтальные фазовые линии движения), то за счет запаздывания включения сопел t1 он АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА перейдет за эту линию на величину Dj=wt1. Это означает, что ли­ния включения займет сейчас в координатах (j,t1) на­клонное положение (рис. 2.14). Аналогично и в III квад­ранте.

К полосы же выключения сопел w= -b2 объект под­ходит с неизменным ускорением — с (параболическая фазовая линия движения). Потому АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА за счет запаздывания выклю­чения сопел та он перейдет за эту линию на величину Dw= -сt2. Как следует, линия выключения сопел w= -b2 сместится вниз (рис. 2.14). Аналогично в ле­вой полуплоскости линия выключения w=b2 сместится ввысь на величину Dw=ct2.

Рис. 2.14.

В согласовании с этим на АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА рис. 2.14 нанесены фазовые линии движения. Видно, что предельный цикл за счет запаздываний возрос в размерах. Амплитуда его

заместо прежней (2.19).

Поменяется картина фазовых траекторий и снутри предельного цикла. Там включение сопел будет происхо­дить на линиях FG и F1G1. Выключение же - на линиях FH и F1H1 которые получаются от перехода АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА парабол за полосы (j=±b1 на Dw= ct2 соответственно, при этом отрезок D (рис. 2.14) определяется по формуле

В итоге снутри предельного цикла получаются рас­ходящиеся спиралевидные фазовые линии движения. Это соответствует расходящимся колебаниям системы, переходя­щим в предельный цикл. Тут, как и в прошлом случае, система попадает в автоколебательный режим изв АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА­не не асимптотически, а за конечное число колебаний.

Рассмотренный подход к учету на фазовой плоскости временного запаздывания в системе эквивалентен в ка­кой-то степени исследованию неких параметров системы выше второго порядка. Приблизительно таким же образом мо­жет оказывать влияние на поведение системы учет неизменных времени в АВТОКОЛЕБАНИЯ В СИСТЕМАХВЫСОКОГО ПОРЯДКА системе управления.

Аналогичным методом можно создавать учет вре­менного запаздывания и в релейных системах автомати­ческого управления.


ЛЕКЦИЯ 8. Системы с переменной структурой.

План.

1. Понятие переменной структуры.

2. Форма скользящего процесса.

Переменная структура системы дает дополнительные способности получения разных хотимых процессов автоматического управления п регулирования. Допустим,

Рис. 2.15.


avtomatizaciya-gorno-shahtnogo-oborudovaniya-referat.html
avtomatizaciya-i-kontrol-dvizheniya-poezdov.html
avtomatizaciya-informacionnogo-obespecheniya-poletov.html